01 · שתי דרכים לאותה נקודה
מקרטזית לקוטבית
בצורה הקרטזית משתמשים בקואורדינטות (a,b). בצורה הקוטבית משתמשים ברדיוס r ובזווית θ מציר x החיובי.
z = r(cos θ + i sin θ) = r·cis θ
r = |z| = √(a²+b²)הרדיוס
tan θ = b/aהזווית — תוך התחשבות ברביע
a = r cos θחזרה לחלק הממשי
b = r sin θחזרה לחלק המדומה
דוגמה פתורה
הציגו את z=1+i בצורה קוטבית
r=√(1²+1²)=√2. הנקודה ברביע הראשון ו־tan θ=1, לכן θ=π/4.
z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
הזווית תלויה ברביע: מחשבון שמחזיר arctan(b/a) לבדו עלול לתת זווית ברביע הלא נכון. קודם ממקמים את הנקודה.
02 · מעבדה חזותית
הזיזו רדיוס וזווית
שנו את r ואת θ וראו כיצד הייצוג הקוטבי הופך בחזרה ל־a+bi.
03 · הקסם הקוטבי
בכפל — אורכים מוכפלים וזוויות מתחברות
אם z₁=r₁cisθ₁ ו־z₂=r₂cisθ₂, אין צורך לפתוח סוגריים.
z₁z₂ = r₁r₂ cis(θ₁+θ₂)כפל
z₁/z₂ = (r₁/r₂) cis(θ₁−θ₂)חילוק
דוגמה
כפל כסיבוב ומתיחה
כפל ב־2cis(π/3) מותח כל וקטור פי 2 ומסובב אותו ב־60°. זו הסיבה הגיאומטרית שהצגה קוטבית כל כך שימושית.
04 · משפט דה־מואבר
חזקות בלי לפתוח המון סוגריים
[r(cos θ+i sin θ)]ⁿ = rⁿ[cos(nθ)+i sin(nθ)]
דוגמה פתורה
חשבו (1+i)⁸
מהדוגמה הקודמת 1+i=√2 cis(π/4). לכן:
(√2)⁸ cis(8·π/4) = 16 cis(2π) = 16
בדיקה: מהו [2cis(π/6)]³?
2³cis(3π/6)=8cis(π/2)=8i.
05 · הצצה לשורשים
למספר יש n שורשים מסדר n
שורשי zⁿ = r cis θ נמצאים במרווחים שווים על מעגל. הם יוצרים מצולע משוכלל — סימטריה אלגברית שהופכת לציור.
zₖ = ⁿ√r · cis((θ+2πk)/n), k=0,…,n−1
ברמת תיכון חשוב בעיקר להבין את הרעיון ואת דה־מואבר. נוסחת השורשים כאן היא בונוס למי שרוצה לראות את התמונה השלמה.