01 · שורש של מספר שלילי
מוציאים את המינוס בתור i
לכל k>0, מתקיים √(−k)=i√k. כשפותרים משוואה ריבועית זוכרים את שני הסימנים.
√−16 = 4iשורש ראשי
z² = −16 ⇒ z = ±4iשני פתרונות
הבדל חשוב: לסמל √−16 יש ערך ראשי 4i. למשוואה z²=−16 יש שני פתרונות: ±4i.
בדיקה: פתרו z²+36=0
z²=−36, ולכן z=±6i.
02 · הנוסחה המוכרת
אותה נוסחה, עולם גדול יותר
נוסחת השורשים אינה משתנה. כאשר Δ=b²−4ac שלילית, כותבים את השורש שלה בעזרת i.
z = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
דוגמה פתורה
פתרו z²−4z+13=0
- a=1, b=−4, c=13.
- Δ=(−4)²−4·1·13=16−52=−36.
- √Δ=√−36=6i.
- z=(4±6i)/2=2±3i.
שימו לב שהשורשים 2+3i ו־2−3i הם צמודים. זה תמיד קורה כאשר מקדמי הפולינום ממשיים והשורשים אינם ממשיים.
03 · בדיקה חכמה
ויאטה עובדת גם כאן
אם z₁,z₂ הם שורשי az²+bz+c=0, אז:
z₁+z₂ = −b/aסכום השורשים
z₁z₂ = c/aמכפלת השורשים
בדיקת הדוגמה
השורשים 2±3i
הסכום הוא 4, ואכן −b/a=4. המכפלה היא (2+3i)(2−3i)=4+9=13, ואכן c/a=13.
04 · מעבדה
פותר המשוואות
הזינו מקדמים של az²+bz+c=0. נסו לנבא קודם אם השורשים ממשיים או מרוכבים.
05 · דפוסים שימושיים
לזהות לפני שמחשבים
- z²+r²=0 ⇒ z=±ri
- מקדמים ממשיים ⇒ שורשים מרוכבים צמודים
- Δ<0 ⇒ אין שורשים ממשיים, אבל יש שני מרוכבים
- שורש כפול כאשר Δ=0
אתגר: בנו משוואה ששורשיה 3±2i
הסכום הוא 6 והמכפלה 3²+2²=13, לכן z²−6z+13=0.