המשוואה שלא רצתה פתרון
במספרים הממשיים, ריבוע של כל מספר הוא אי־שלילי. לכן למשוואה x² = −1 אין פתרון ממשי. מתמטיקאים הרחיבו את מערכת המספרים והגדירו יחידה חדשה:
היחידה המדומה
המילה “מדומה” היא שם היסטורי בלבד. i הוא מספר לגיטימי ועקבי, ממש כמו שמספרים שליליים היו פעם רעיון חדש ומוזר.
פתרו x² + 9 = 0
- מעבירים אגף: x² = −9.
- כותבים −9 = 9·(−1) = 9i².
- מוציאים שורש וזוכרים שני סימנים: x = ±3i.
בדיקה מהירה: מהו √−25?
מהו מספר מרוכב?
מספר מרוכב מחבר חלק ממשי וחלק מדומה. הצורה הסטנדרטית שלו היא:
שימו לב: אם z = 4 − 7i, אז Im(z) = −7, ולא −7i. החלק המדומה הוא המקדם.
גם מספר ממשי הוא מספר מרוכב: למשל 6 = 6 + 0i. ומספר כמו −3i נקרא “מדומה טהור”, כי החלק הממשי שלו אפס.
בדיקה מהירה: ב־z = −2 + 5i, מהם a ו־b?
מתי שני מרוכבים שווים?
שני מספרים מרוכבים שווים רק אם החלקים הממשיים שלהם שווים וגם החלקים המדומים שלהם שווים.
מצאו x,y
משווים חלקים: 2x − 1 = 7, ולכן x = 4. במקביל y + 3 = −2, ולכן y = −5.
חזקות של i חוזרות בלולאה
החזקות הראשונות יוצרות מחזור באורך ארבע. כל חזקה נוספת ממשיכה שוב מהתחלה.
חשבו i²⁰²⁶
מחלקים את המעריך ב־4: 2026 = 4·506 + 2. השארית היא 2, לכן i²⁰²⁶ = i² = −1.
קיצור דרך: לא מחשבים חזקה גדולה. מחפשים רק את השארית של המעריך בחלוקה ל־4.