01 · חיבור וחיסור
דומה עם דומה
מחברים חלק ממשי עם חלק ממשי, וחלק מדומה עם חלק מדומה. בדיוק כמו איסוף איברים דומים.
(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i
דוגמה פתורה
חשבו (5−2i) − (−3+4i)
פותחים בזהירות את סימן המינוס:
5 − 2i + 3 − 4i = 8 − 6i
בדיקה: כמה הם (2+7i)+(4−3i)?
6+4i. ממשיים: 2+4; מדומים: 7−3.
02 · כפל
פותחים סוגריים ומחליפים i²
משתמשים בכפל המקוצר או בפילוג רגיל. בסוף מחליפים כל i² ב־−1 ואוספים איברים.
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
דוגמה פתורה
חשבו (2+3i)(4−i)
8 − 2i + 12i − 3i² = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i
האיבר האחרון הפך לחיובי, כי −3i² = −3·(−1) = 3.
מלכודת נפוצה: (bi)(di) = bd·i² = −bd. המכפלה של שני איברים מדומים היא ממשית.
03 · צמוד וערך מוחלט
תמונת הראי של המספר
הצמוד של z=a+bi מתקבל כשמחליפים את סימן החלק המדומה. מסמנים אותו z̄.
z̄ = a − biהמספר הצמוד
|z| = √(a²+b²)הערך המוחלט
z·z̄ = a²+b²תוצאה ממשית
|z|² = z·z̄קשר שימושי
דוגמה פתורה
עבור z=3−4i
הצמוד הוא z̄=3+4i, והערך המוחלט הוא |z|=√(3²+(−4)²)=5.
04 · חילוק
מנקים את i מהמכנה
כופלים מונה ומכנה בצמוד של המכנה. כך המכנה הופך למספר הממשי c²+d².
(a+bi)/(c+di) · (c−di)/(c−di)
דוגמה פתורה
חשבו (1+2i)/(3−i)
((1+2i)(3+i))/((3−i)(3+i)) = (1+7i)/10 = 1/10 + 7/10 i
05 · משחק חישוב
מעבדת המרוכבים
שנו את המקדמים וראו מיד איך כל פעולה מושפעת. נסו לנחש לפני שאתם מזיזים מספר.
z₁ = a+bi , z₂ = c+di