01 · ממספר לנקודה
שני חלקים, שתי קואורדינטות
במישור המרוכב (מישור גאוס), הציר האופקי מייצג את החלק הממשי והציר האנכי את החלק המדומה.
z = a + bi ↔ (a,b)
Re(z)=aתזוזה אופקית
Im(z)=bתזוזה אנכית
דוגמה
איפה נמצא z=−3+2i?
שלושה צעדים שמאלה ושניים למעלה, כלומר בנקודה (−3,2), ברביע השני.
בדיקה: איזה מספר מתאים לנקודה (4,−1)?
z=4−i. קואורדינטת x היא החלק הממשי וקואורדינטת y היא מקדם i.
02 · תרגול חזותי
פגעו בנקודה
מקמו את המספר שמופיע על הלוח. אפשר ללחוץ עם העכבר או להשתמש בחיצים וב־Enter.
מצאו על המישור:
03 · מרחק
ערך מוחלט הוא אורך
|z| הוא המרחק של הנקודה מהראשית. משפט פיתגורס נותן בדיוק את הנוסחה שכבר הכרנו.
|a+bi| = √(a²+b²)
באופן כללי, המרחק בין שני מספרים z₁,z₂ הוא |z₂−z₁|. מחסרים כדי להזיז אחד מהם לראשית ואז מודדים את אורך ההפרש.
דוגמה פתורה
המרחק בין z₁=1+2i ל־z₂=4+6i
|z₂−z₁| = |3+4i| = √(3²+4²) = 5
04 · פעולות שרואים
מה החישובים עושים במישור?
- חיבור = חיבור וקטורים
- חיסור = הווקטור בין נקודות
- צמוד = שיקוף בציר הממשי
- כפל ב־i = סיבוב 90°
- כפל ב־−1 = סיבוב 180°
רגע יפה
למה כפל ב־i מסובב?
ניקח z=a+bi. אז iz=ai+bi²=−b+ai. הנקודה (a,b) הפכה ל־(−b,a) — בדיוק נוסחת סיבוב של 90° נגד כיוון השעון.
חיבור בין אלגברה לגיאומטריה: הצמוד של 3+2i הוא 3−2i; אותה קואורדינטת x, ו־y הפוך.